माना $(1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_{41}x^{41}$,तो $\frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + .... + \frac{a_{41}}{42}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $C_r$ द्विपद गुणांक ${ }^{n} C_r$ को दर्शाता है,तो $(-1) C_0^2+2 C_1^2+5 C_2^2+\ldots+(3 n-1) C_n^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

List-$I$ का List-$II$ के साथ सही मिलान है:

यदि $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है, तो $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(1 - x)^5(1 + x + x^2 + x^3)^4$ के विस्तार में $x^{13}$ का गुणांक है :-

मान लीजिए $C_{r}$,$(1+x)^{10}$ के विस्तार में $x^{r}$ का द्विपद गुणांक है। यदि $\alpha, \beta \in R$ है और $C_{1}+3 \cdot 2 C_{2}+5 \cdot 3 C_{3}+\ldots$ ($10$ पदों तक) $= \frac{\alpha \times 2^{11}}{2^{\beta}-1} \left( C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}+\ldots \right.$ ($10$ पदों तक) $)$,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।